¿Qué son las matemáticas? Conceptos y métodos fundamentales

Tipo: Libro impreso / Print book

Tamaño / Size: 15.5 x 23 cm

Páginas / Pages: 623

Resumen / Summary:

Autor / Author: Richard Courant y Herbert Robbins
Editorial / Publisher: Fondo de Cultura Económica
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Condición / Condition: Nuevo / New

Tabla de contenido / Table of contents:

Prólogo
Prefacio de la segunda edición
Prefacio de las ediciones revisadas
Prefacio de la primera edición
Cómo usar este libro
¿Qué son las matemáticas?

I. Los números naturales

Introducción

§1. Cálculo con números enteros

1. Leyes de la aritmética
2. La representación de los números enteros
3. Cómputo en sistemas distintos al decimal

§2. La infinitud del sistema de números. Inducción matemática

1. El principio de inducción matemática
2. La progresión aritmética
3. La progresión geométrica
4. La suma de los primeros cuadrados
5. Una desigualdad importante
6. El teorema del binomio
7. Observaciones adicionales sobre inducción matemática

Suplemento del capítulo I: La teoría de los números

Introducción

§1. Los números primos

1. Aspectos fundamentales
2. La distribución de los primos

§2. Congruencias

1. Conceptos generales
2. El teorema de Fermat
3. Residuos cuadráticos

§3. Los números pitagóricos y el último teorema de Fermat

§4. El algoritmo euclidiano
1. Teoría general
2. Aplicación al teorema fundamental de la aritmética
3. La función φ de Euler. Otra vez el teorema de Fermat
4. Fracciones continuas. Ecuaciones diofantinas

II. El sistema de números de las matemáticas

Introducción

§ 1. Los números racionales

1. Los números racionales como un mecanismo para medir
2. Necesidad intrínseca de los números racionales. Principio de generalización Interpretación geométrica de los números racionales

§2. Segmentos inconmensurables, números irracionales y el concepto de límite

1. Introducción
2. Fracciones decimales. Decimales infinitos
3. Límites. Series geométricas infinitas
4. Números racionales y decimales periódicos
5. Definición general de números irracionales por medio de intervalos encajados
6. Métodos alternativos de definir los números irracionales. Cortaduras de Dedekind

§3. Observaciones sobre geometría analítica

1. El principio básico
2. Ecuaciones de líneas rectas y curvas

§4. El análisis matemático del infinito

1. Conceptos fundamentales
2. La numerabilidad de los números racionales y la no numerabilidad del continuo
3. Los "números cardinales" de Cantor
4. El método indirecto de demostración
5. Las paradojas del infinito
6. Los fundamentos de las matemáticas

§5. Números complejos

1. El origen de los números complejos
2. La interpretación geométrica de los números complejos
3. La fórmula de De Moivre y las raíces de la unidad
4. El teorema fundamental del álgebra

§6. Números algebraicos y trascendentes

1. Definición y existencia
2. El teorema de Liouville y la construcción de números trascendentes

Suplemento del capítulo II: El álgebra de los conjuntos

1. Teoría general
2. Aplicación a la lógica matemática
3. Una aplicación a la teoría de las probabilidades

III. Construcciones geométricas. El álgebra de los campos numéricos

Introducción
Primera parte. Demostraciones de imposibilidad y el álgebra

§1. Construcciones geométricas fundamentales

1. Construcción de campos y extracción de raíces cuadradas
2. Polígonos regulares
3. El problema de Apolonio

§2. Números construibles y campos de números

1. Teoría general
2. Todos los números construibles son algebraicos
 
§3. La insolubilidad de los tres problemas griegos

1. La duplicación del cubo
2. Un teorema sobre ecuaciones cúbicas
3. La trisección del ángulo
4. El heptágono regular
5. Observaciones sobre el problema de la cuadratura del círculo

Segunda parte. Varios métodos para llevar a cabo construcciones

§4. Transformaciones geométricas. Inversión

1. Observaciones generales
2. Propiedades de la inversión
3. Construcción geométrica de puntos inversos
4. La bisección de un segmento y la determinación del centro de un círculo usando sólo el compás

§5. Construcciones con otras herramientas. Construcciones de Mascheroni sólo con compás

1. Una construcción clásica para duplicar el cubo
2. Restricción al uso del compás solo
3. El dibujo con instrumentos mecánicos. Curvas mecánicas. Cicloides
4. Pantógrafos. Inversores de Peaucellier y de Hart

§6. Más sobre la inversión y sus aplicaciones

1. Invariancia de ángulos. Familias de círculos
2. Aplicación al problema de Apolonio
3. Reflexiones repetidas

IV. Geometría proyectiva. Axiomática. Geometrías no euclidianas

§1. Introducción

1. Clasificación de las propiedades geométricas. Invariancia bajo transformaciones
2. Transformaciones proyectivas

§2. Conceptos fundamentales

1. El grupo de las transformaciones proyectivas
2. El teorema de Desargues

§3. Razón cruzada

1. Definición y demostración de invariancia
2. Aplicación al cuadrilátero completo, 212

§4. Paralelismo e infinito

1. Puntos al infinito como "puntos ideales"
2. Elementos ideales y proyección
3. Razón cruzada con elementos al infinito

§5. Aplicaciones

1. Observaciones preliminares
2. Demostración del teorema de Desargues en el plano
3. El teorema de Pascal
4. El teorema de Brianchon
5. Una observación sobre dualidad
 
§6. Representación analítica

1. Notas introductorias
2. Coordenadas homogéneas. La base algebraica de la dualidad

§7. Problemas sobre construcciones con regla solamente

§8. Cónicas y superficies cuadráticas

1. Geometría métrica elemental de las cónicas
2. Propiedades proyectivas de las cónicas
3. Las cónicas como curvas lineales
4. Teoremas generales de Pascal y de Brianchon para cónicas
5. El hiperboloide

§9. La axiomática y las geometrías no euclidianas

1. El método axiomático
2. Geometría no euclidiana hiperbólica
3. Geometría y realidad
4. El modelo de Poincaré
5. Geometría elíptica o riemanniana

Apéndice. Geometría en más de tres dimensiones

1. Introducción
2. Enfoque analítico
3. Enfoque geométrico o combinatorio

V. Topología

Introducción

§ 1. La fórmula de Euler para poliedros

§2. Propiedades topológicas de las figuras

1. Propiedades topológicas
2. Conexidad

§3. Otros ejemplos de teoremas topológicos

1. El teorema de la curva de Jordan
2. El problema de los cuatro colores
3. El concepto de dimensión
4. Un teorema de punto fijo
5. Nudos, 290

§4. La clasificación topológica de las superficies

1. El género de una superficie
2. La característica de Euler de una superficie
3. Superficies de una sola cara

Apéndice

1. El teorema de los cinco colores
2. El teorema de la curva de Jordan para polígonos
3. El teorema fundamental del álgebra

VI. Funciones y límites

Introducción

§ 1. Variable y función

1. Definiciones y ejemplos
2. Medición de ángulos en radianes
3. La gráfica de una función. Funciones inversas
4. Funciones compuestas
5. Continuidad
6. Funciones de varias variables
7. Funciones y transformaciones
 
§2. Límites

1. El límite de una sucesión an
2. Sucesiones monótonas
3. El número e de Euler
4. El número π
5. Fracciones continuas

§3. Límites por aproximación continua

1. Introducción. Definición general
2. Observaciones sobre el concepto de límite
3. El límite de (senx)/x
4. Límites cuando x→∞

§4. Definición precisa de continuidad

§5. Dos teoremas fundamentales sobre funciones continuas

1. El teorema de Bolzano
2. Demostración del teorema de Bolzano
3. El teorema de Weierstrass sobre valores extremos
4. Un teorema sobre sucesiones. Conjuntos compactos

§6. Algunas aplicaciones del teorema de Bolzano

1. Aplicaciones geométricas
2. Aplicación a un problema de mecánica

Suplemento del capítulo VI: Más ejemplos de límites y continuidad

§1. Ejemplos de límites

1. Comentarios generales
2. El límite de qn
3. El límite de
n√p
4. Funciones discontinuas como límites de funciones continuas
5. Límites por iteración

§2. Un ejemplo de continuidad

VII. Máximos y mínimos

Introducción

§ 1. Problemas de geometría elemental

1. Área máxima de un triángulo dados dos de sus lados
2. El teorema de Herón. Propiedad de extremos de los rayos de luz
3. Aplicaciones a problemas de triángulos
4. Propiedades de las tangentes a elipses e hipérbolas. Propiedades de extremos correspondientes
5. Distancias extremas a una curva dada

§2. Un principio general que es fundamental para los problemas de valores extremos

1. El principio
2. Ejemplos

§3. Puntos estacionarios y el cálculo diferencial

1. Extremos y puntos estacionarios
2. Máximos y mínimos de funciones de varias variables. Puntos silla
3. Puntos "rninimax" y topología
4. La distancia de un punto a una superficie
 
§4. El problema del triángulo de Schwarz

1. La demostración de Schwarz
2. Otra demostración
3. Triángulos obtusángulos
4. Triángulos formados por rayos de luz
5. Observaciones referentes a problemas de reflexión y al movimiento ergódico

§5. El problema de Steiner

1. El problema y su solución
2. Análisis de las posibilidades
3. Un problema complementario
4. Observaciones y ejercicios
5. Generalización al problema de la red de caminos

§6. Extremos y desigualdades

1. Las medias aritmética y geométrica de dos cantidades positivas
2. Generalización a n variables
3. El método de los mínimos cuadrados

§7. La existencia de un extremo. El principio de Dirichlet

1. Observaciones generales
2. Ejemplos
3. Problemas elementales de extremos
4. Dificultades en casos más cornplejos

§8. El problema isoperimétrico

§9. Problemas de extremos con condiciones de frontera. Relación entre el problema de Steiner y el problema isoperimétrico

§10. El cálculo de variaciones

1. Introducción
2. El cálculo de variaciones. El principio de Fermat en óptica
3. El tratamiento de Bernoulli del problema de la braquistocrona
4. Geodésicas en una esfera. Geodésicas y maxi-mínimos

§ 11. Soluciones experimentales de problemas de mínimos. Experimentos con película de jabón

1. Introducción
2. Experimentos con película de jabón
3. Nuevos experimentos sobre el problema de Plateau
4. Soluciones experimentales de otros problemas matemáticos

VIII. El cálculo

Introducción

§1. La integral

1. El área como un límite
2. La integral
3. Observaciones generales sobre el concepto de integral. Definición general
4. Ejemplos de integración. Integración de xr
5. Reglas del "cálculo integral"

§2. La derivada

1. La derivada como una pendiente
2. La derivada como un límite
3. Ejemplos
4. Derivadas de las funciones trigonométricas
5. Diferenciación y continuidad
6. Derivada y velocidad. Segunda derivada y aceleración
7. Significado geométrico de la segunda derivada
8. Máximos y mínimos,

§3. La técnica de diferenciación

§4. La notación de Leibniz y lo "infinitamente pequeño"

§5. El teorema fundamental del cálculo

1. El teorema fundamental
2. Primeras aplicaciones. Integración de xr, cos x, sen x. Arc tan x
3. La fórmula de Leibniz para π

§6. La función exponencial y el logaritmo 

1. Definición y propiedades del logaritmo. El número e de Euler
2. La función exponencial
3. Fórmulas para la diferenciación de eX, aX y xS
4. Expresiones explícitas para e, eX y log x como límites
5. Series infinitas para el logaritmo. Cálculo numérico

§7. Ecuaciones diferenciales

1. Definición
2. La ecuación diferencial de la función exponencial. Desintegración radiactiva. Ley de crecimiento. Interés compuesto
3. Otros ejemplos. Las vibraciones más sencillas
4. Ley de Newton de la dinámica

Suplemento del capítulo VIII

§1. Cuestiones de principios

1. Diferenciabilidad
2. La integral
3. Otras aplicaciones del concepto de integral. Trabajo. Longitud

§2. Órdenes de magnitud

1. La función exponencial y potencias de x
2. El orden de magnitud de log(n!)

§3. Series infinitas y productos infinitos

1. Series infinitas de funciones, 516; 2. La fórmula de Euler, cos x + i sen x = eix
3. La serie armónica y la función zeta
El producto de Euler para el seno

§4. El teorema de los números primos obtenido por métodos estadísticos

IX. Avances recientes

§ 1. Una fórmula para los primos
§2. La conjetura de Goldbach y los primos gemelos
§3. El último teorema de Fermat
§4. La hipótesis del continuo
§5. Notación de teoría de conjuntos
§6. El teorema de los cuatro colores
§7. La dimensión de Hausdorffy los fractales
§8. Nudos
§9. Un problema de mecánica
§10. El problema de Steiner
§ 11. Películas de jabón y superficies mínimas
§12. Análisis no estándar

Apéndice
Observaciones, problemas y ejercicios suplementarios

Aritmética y álgebra
Geometría analítica
Construcciones geométricas.
Geometría proyectiva y geometrías no euclidianas.
Topología
Funciones, límites y continuidad Máximos y mínimos. .
El cálculo
Técnicas de integración
Sugerencias bibliográficas

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