Introducción analítica a las geometrías

Tipo: Libro impreso / Print book

Tamaño / Size: 20.5 x 27.5 cm

Páginas / Pages: 361

Resumen / Summary:

Autor / Author: Javier Bracho
Editorial / Publisher: Fondo de Cultura Económica
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Condición / Condition: Nuevo / New

Prefacio
Prólogo para el maestro
Prólogo para el estudiante
Agradecimientos

I. El plano euclidiano

I.1. La geometría griega

I.2. Puntos y parejas de números
I.2.1. Geometría analítica.
I.2.2. El espacio de dimensión n

I.3. El espacio vectorial lR2
I.3.1. ¿Teorema o axiomas?

I.4. Líneas
I.4.1. Coordenadas baricéntricas
I.4.2. Planos en el espacio I

I.5. Medio Quinto

I.6. Intersección de rectas I
I.6.1. Sistemas de ecuaciones lineales I

I.7. Producto interior
I.7.1. El compadre ortogonal

I.8. La ecuación normal de la recta
I.8.1. Intersección de rectas II
I.8.2. Teoremas de concurrencia
I.8.3. Planos en el espacio II

I.9. Norma y ángulos
I.9.1. El círculo unitario
I.9.2. Coordenadas polares
I.9.3. Ángulo entre vectores

I.10. Bases ortonormales
I.10.1. Fórmula geométrica del producto interior
1.10.2. El caso general

I.11. Distancia
I.11.1. El espacio euclidiano [primera misión cumplida)
I.11.2. Distancia de un punto a una recta
I.11.3. El determinante como área dirigida
I.11.4. La mediatriz
I.11.5. Bisectrices y ecuaciones unitarias

I.12. Los espacios de rectas en el plano
I.12.1. Rectas orientadas
I.12.2. Rectas no orientadas

II. Cónicas I (presentación)

II.1. Círculos
II.1.1. Tangentes y polares

II.2. Elipses
II.3. . Hipérbolas  
II.4. Parábolas

II.5. Propiedades focales
II.5.1. De la parábola
II.5.2. De la hipérbola
II.5.3. De la elipse
II.5.4. Telescopios

II.6. Armonía y excentricidad
II.6.1. Puntos armónicos y círculos de A polonio
II.6.2. Excentricidad

II.7. Esferas de Dandelin

III. Transformaciones

III.1. Funciones y transformaciones
III.1.1. Grupos de transformaciones

III.2. Las transformaciones afines de lR
III.2.1. 1sometrías de lR

III.3. Isometrías y transformaciones ortogonales
III.3.1. Ejemplos
III.3.2. Grupos de simetrías
III.3.3. Transformaciones ortogonales

III.4. Las funciones lineales
III.4.1. Extensión lineal
III.4.2. La estructura de las funciones lineales

III.5. Matrices
III.5.1. Vectores columna
III.5.2. La matriz de una función lineal
III.5.3. Multiplicación de matrices
III.5.4. Algunas familias distinguidas de matrices

III.6. El Grupo General Lineal (GL(2))
III.6.1. El determinante
III.6.2. Sistemas de ecuaciones lineales II

III.7. Transformaciones afines
III.7.1. Combinaciones afines (el Teorema de 3 en 3)

III.8. Isometrías II
III.8.1. Rotaciones y traslaciones
III.8.2. Reflexiones y "pasos"
III.8.3. Homotecias y semejanzas

III.9. Simetría plana
III.9.1. El Teorema de Leonardo
III.9.2. Grupos discretos y caleidoscópicos
III.9.3. Fractales afínmente autosimilares

IV. Cónicas II (clasificación)

IV.1. ¿Qué es clasificar?
IV.1.1. Clasificación de triángulos

IV.2. Clasificación de cónicas
IV.2.1. Las cónicas canónicas (y algo más)
IV.2.2. Equivalencia de polinomios

IV.3. Reducción de polinomios cuadráticos
IV.3.1. Traslaciones (cómo encontrar el centro)
IV.3.2. Rotaciones (cómo encontrar los ejes)

IV.4. Clasificación de curvas cuadráticas
IV.4.1. Clasificación isométrica  
IV.4.2. Clasificación afín y por semejanzas

IV.5. Lo que no demostramos

V. La esfera y el espacio

V.1. Planos y líneas en IR3
V.1.1. El producto cruz
V.1.2. Intersección de planos
V.1.3. El determinante y la orientación.
V.1.4. Sistemas de ecuaciones
V.1.5. Dependencia e independencia lineal

V.2. La esfera
V. 2.1. Líneas esféricas y polaridad
V. 2. 2. Distancias y ángulos
V.2.3. Área y triángulos
V.2.4. Trigonometría esférica

V.3. Isometrías de la esfera (O(3))
V.3.1. Rotaciones (SO(3))
V.3.2. Pasos

V.4. Simetría esférica
V.4.1. Subgrupos finitos de SO(3)
V.4.2. Subgrupos finitos no orientados
V.4.3. Los grupos platónicos

VI. Geometría proyectiva

VI. 1. Motivación
VI.1.1. El quinto postulado
VI.1.2. Las cónicas y el infinito
VI.1.3. El problema del pintor I

VI.2. La línea proyectiva
VI.2.1. Proyecciones de rectas en rectas
VI.2.2. Transformaciones de Moebius
VI.2.3. Teorema de 3 en 3
VI.2.4. La recta proyectiva y IR2
VI.2.5. Tipos de transformaciones
VI.2.6. Armonía

VI.3. El problema del pintor II

VI.4. El plano proyectivo
VI.4.1. Coordenadas homogéneas
VI.4.2. Rectas proyectivas
VI.4.3. Axiomas de incidencia y el quinto postulado
VI.4.4. Parametrización de rectas proyectivas

VI.5. Modelos del plano proyectivo
VI.5.1. Completación de IR2
VI.5.2. Cartas afines
VI.5.3. La esfera módulo antípodas
VI.5.4. Modelo del disco
VI.5.5. La banda de Moebius más un disco
VI.5.6. Modelo Nintendo

VI.6. Transformaciones proyectivas
VI.6.1. Con regla
VI.6.2. Analíticas  
VI.6.3. El Teorema de 4 en 4
VI.6.4. Transformaciones afines
VI.6.5. Teoremas de Desargues y de Papus

VI.7. El plano proyectivo rígido
VI.7.1. Las isometrías de IP2 (SO(3))
VI.7.2. El homeomorfismo de SO(3) con IP3
VI.7.3. Los politopos regulares de IR4

VI.8. Despliegue de realidad virtual
VI.8.1. Proyecciones del espacio proyectivo

VII. Cónicas III (proyectivas)

VII.1. Curvas algebraicas en IP2
VII.1.1. Polinomios y su homogeneización
VII.1.2. Conos y curvas algebraicas proyectivas
VII.1.3. Equivalencia proyectiva

VII.2. Formas cuadráticas
VII.2.1. Clasificación usando la afín
VII.2.2. Equivalencia lineal

VII.3. Diagonalización de matrices simétricas

VII.4. Geometría de las formas cuadráticas
VII.4.1. Su simetría
VII.4.2. Reducción final

VII.5. Clasificación en IP3 y en IR3
VII.5.1. Resumen de cónicas en IP2 y en IR2
VII.5.2. Dimensión 3
VII.5.3. Superficies regladas
VII.5.4. Idea de la clasificación general

VIII. Geometría hiperbólica

VIII.1. El plano hiperbólico
VIII.1.1. Puntos
VIII.1.2. Líneas  
VIII.1.3. Transformaciones

VIII.2. El espacio de Lorentz-Minkowski
VIII.2.1. L-norma
VIII.2.2. L-ortogonalidad y polaridad
VIII.2.3. Ternas ortogonales

VIII.3. El grupo de transformaciones
VIII.3.1. Vectores L-unitarios y la cazuela hiperbólica
VIII.3.2. Bases L-ortonormales
VIII.3.3. Homogeneidad e isotropía
VIII.3.4. Rotaciones y ángulos
VIII.3.5. Traslaciones
VIII.3.6. Traslaciones horocíclicas
VIII.3.7. Transformaciones hiperbólicas y de Moebius (su isomorfismo)

VIII.4. Métrica
VIII.4.1. Ángulos
VIII.4.2. Distancias
VIII.4.3. Triángulos

VIII.5. Modelos de Poincaré y el hemiplano superior
VIII.6. Subgrupos discretos

IX. Cónicas IV (tangentes y polaridad)

IX.1. Forma bilineal de una cónica
lX.2. Tangentes y polaridad
IX.3. Armonía y el grupo de invariancia

Apéndice
Conjuntos y números complejos

A.1. Conjuntos
A.2. Números complejos

Bibliografía
Índice analítico